在计算机硬件层面上，你知道1+1是如何实现的吗？本文先介绍了继电器的基本原理，然后从分析与或非等逻辑门电路入手，推导出异或门的实现，借助异或门从而实现1+1，并得出全加器的基本原理。
前言
计算机中处理的都是二进制，1+1=2转成二进制表示为 1 + 1 = 10， 10表示相加结果为0， 并且有进位。如图所示，该运算可以拆分成求和和求进位。
求和的特点是0 + 0 = 0， 1 + 1 = 0， 0 + 1 = 1， 1 + 0 = 1. 可以看到，相同的数相加为0， 相反为1， 其实就是作异或。
求进位的特点是 0 + 0 = 0， 1 + 1 = 1， 0 + 1 = 0, 1 + 0 = 0,就是有0的话，结果就为0， 其实就是作与。
所以，该加法运算就可以拆分成一个异或运算和一个与运算。那么异或和与运算又是如何实现的呢？下面我们先从最简单的讲起。
0.接地
下图大家都很熟悉，一个电池接上一个灯泡，合上开关后，灯泡就亮了。它的基本原理是电子从电池的负极进过灯泡后到达正极，和正极的质子结合达到稳定状态。灯泡中有个金属片和钨丝，电子进过灯泡的金属片后，由于有电阻所以会发热，如果达到了钨丝的燃点后，钨丝在真空就会发亮。
上图有个问题就是如果电池和灯泡相距很远的话（比如广州到北京）， 铺线的成本很高，来回都要一根线，有没有什么更节约成本的方法呢？肯定有， 我们知道地球本身就是一个巨大的导体，里面有无穷无尽的电子，灯泡可以直接接地，从地球上吸收电子，而电池将负极的电子接入到地球。这样的话，可以节约一半的铺线成本，如下图所示。
此处灯泡和电池接地是个示意图，只是为了说明这么个原理。真正这样做的话，灯泡肯定不亮，因为电池的电压相对地球来说太小了，地球的电阻相对电池来说太大了。
工程实践上，将上图简化为下图的方式来表示，将接地的电池用V来表示。
1.继电器
如果要长距离的传输，由于长导线的电阻越大，电流越小，功率就越小，为了使得灯泡一样亮，就需要增加电压。但是导线的长度可以近似无限增大，但是电压没法无限增大，所以需要一套中继系统，通过这套系统将比较弱的输入电流“放大”成较强的输出电流。这套中继系统就叫继电器。它的结构如下。
电流通过缠绕在铁棒的导线，会产生磁场。继而将上面的那个开关拉下来，从而接通该电路。以前的电报就是类似的原理，如下图所示，发送方按下开关，铁棒那里产生磁场，将另外一个开关合上，从而收端将电磁铁上面的活动杆拉下； 发送端松下开关，活动杆就弹回去了，从而能够听到“滴-答”的声音。“滴-答”声的长短代表了不同的含义，从而用来传递各种信息。
2. 与门
什么是门？继电器的组合就叫门，多个继电器可以并联或串联在电路中以执行各种基本功能。 将各种门组合起来可以实现复杂的功能。
将两个继电器串联起来叫与门。如下图所示，红色表示通电。只有当两个继电器都通电后，灯泡才亮，其它三种情况灯泡都不亮。当然，继电器的可以再接继电器、各种门，不一定是灯泡。
电气工程师用下图来表示一个与门。可以把按下开关当作1，断开开关为0。只有当两个输入都为1时，输出才为1，其它情况均为0。 同编程语言中的与（&）操作。 0 & 0 = 0， 0 & 1 = 0， 1 & 0 = 0， 1 & 1 = 1。
输入和输出的关系可以用下表来表示。
3.或门
当两个继电器并联在一起时称为或门。这种情况下，只要有一个继电器通电，灯泡就亮。只有当两个继电器同时断开时，灯泡才不亮。
可以用以下符号来表示或门。同编程语言中的或（|）操作符。 0 | 0 = 0, 0 | 1= 1， 1 | 0 = 1， 1 | 1 = 1。
或门的输入和输出的关系可以用下表表示。
4. 反向器
反向器就是将高电平转为低电平。断开开关时，灯泡亮。闭上开关时，灯泡反而不亮。反向器通常不会叫做一个门，主要是门通常是由两个或多个继电器组合而成的， 而反向器只需要一个继电器。
反向器用以下符号来表示。类似于编程语言中的取反操作符。 ~0 = 1, ~1 = 0.
5.与非门
与非门就是两个反向器并联在一起。只有当两个反向器都合上开关时，灯泡才不亮。刚好和与门相反。
用以下符号来表示一个与非门。在与门的基础上加上一个小圆圈，表示在与门结果上取反。
与非门的输入和输出之间的关系入下表， 只有当两个输入端为高电平（合上开关）时，输出才为低电平。
6. 或非门
两个反向器串联在一起称为或非门。只有当两个反向器的开关都打开时，灯泡才亮，刚好和或门完全相反。和与非门的区别是第2,3种情况，打开任意一个反向器，或非门不亮，而与非门亮。
用以下符号来表示或非门， 在或门的基础上加上个小圆圈，表示在或门的结果上取反。
或非门的输入和输出的关系如下。只有当两个输入端都是低电平（断开开关）时候，输出才为高电平。
7.异或门
异或门是如何实现的呢？异或门可以通过一个或门和一个与非门来实现。如下图所示，或的结果和与非的结果再作与后，得到的就是异或的结果。两个输入端，相同为0，相反为1.
或门和与非门通过一个与门连接起来就是异或门。各个继电器的连接关系入下图。与门、或门、与非门、或非门各需要两个继电器，一个异或门需要6个继电器。
异或门用下图来表示，在或门的基础上增加一根曲线。
异或门的输入和输出的关系入下表，用XOR表示异或， 输入相同为0， 相反为1。 同编程语言中的异或（^)操作符。0 ^ 0 = 0, 1 ^ 1 = 0, 1^0 = 1, 0 ^ 1= 1.
8. 1+1= 2？
分析完与门和异或门后，现在再回过头来看下开头说到的如何实现1 + 1 =2 的功能。一位的加法就相当于一个异或门求和， 一个与门求进位。如下图所示。
该电路图用以下这种较简单的方式来表示，该符号表示为半加器，原因是因为它没有将之前的进位加上。
通过半加器可以处理1 + 1 = 2 的运算，但是如果操作数位数大于1位，则还需要能够处理进位的功能。
为了能够处理之前的进位，在半加器的基础上改进下，通过两个半加器和一个或门组合起来就可以组成一个全加器（FA）。一个半加器需要8个继电器， 一个全加器需要18个继电器来实现。如下图所示。
全加器用以下符号表示， Carry In （CI）表示低位的进位，Carry Out （CO）表示当前位的进位。如果是最低位相加，则CI位设置为0，表示没有进位。
如果要实现两个8位数的相加，则需要8个全加器（总共需要144个继电器），通过下图所示的方式连接起来。低位的CO接到高位的CI上，A,B分别表示两个操作数。
下图是对上图的简化描述，表示一个8位的加法器， 其中A7...A0表示操作数A的二进制表示中的第0位到第7位，B表示另外一个操作数， S表示A和B相加后的结果。
如果要实现一个16位的加法器，只需要将两个8位的加法器串联起来即可。第一个8位加法器的CO接入到第二个8位加法器的CI位。如下图所示。
结语
现在的计算机真的是像现在这样实现加法的吗？原理类似，但是有两方面的改进。
一个是运算效率方面的提升，从上面看到的8位全加器，都是需要等待低位运算完后，高位再将低位的进位拿来参与运算，这样运算的速度就取决于操作数的位数，如果位数较多的话，速度会比较慢，这种实现方法叫作行波进位。目前计算中普遍采用的是前置进位，该方法可以提高运算速度。
另外一个是制作工艺的改进，继电器用在上世纪四五十年代的数字计算机中，现在的计算机都是用晶体管。晶体管相对继电器的优势是体积小、速度快、能耗低、噪声小、而且还更便宜。如果搭建一个8位全加器，也需要用到144个晶体管（如果采用前置进位，则需要更多的晶体管），但是体积小很多。
